12. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра AA₁, точка L — середина ребра A₁D₁, точка M — середина ребра A₁B₁. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

Пусть ребро куба равно 1. Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(D=(0,1,0)\), \(A_1=(0,0,1)\). Тогда

\(K=(0,0,\frac12)\), \(L=(0,\frac12,1)\), \(M=(\frac12,0,1)\).

Векторы \(\overrightarrow{LM}=(\frac12,-\frac12,0)\) и \(\overrightarrow{LK}=(0,-\frac12,-\frac12)\). Их скалярное произведение равно \(\frac14\), а длина каждого вектора равна \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

По формуле скалярного произведения \(\cos\angle MLK=\frac{\frac14}{(\frac{1}{\sqrt2})(\frac{1}{\sqrt2})}=\frac12\). Следовательно, \(\angle MLK=60^\circ\).

Ответ: 60°.