12. В окружности с центром О отрезки AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD.

Решение:

1. Угол ACB — вписанный, опирающийся на дугу AB. Значит, величина дуги AB равна удвоенному углу ACB: \( \text{дуга } AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 36° = 72° \).

2. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Так как AC — диаметр, то дуга ADC = 180°.

3. Угол AOD — вертикальный угол к углу BOC. Треугольник BOC — равнобедренный (OB = OC — радиусы). \( \angle OBC = \angle OCB = 36° \). Тогда \( \angle BOC = 180° - 36° - 36° = 180° - 72° = 108° \).

4. Угол AOD равен углу BOC как вертикальные углы.

Ответ: 108°.