12. В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке М. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AMD.

Доказательство:

Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

1. Шаг 1: Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( ext{AM} = ext{MC} \) и \( ext{BM} = ext{MD} \).
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольники AMD и ABM. У них общая высота, проведенная из вершины B к прямой AD (или из вершины D к прямой AB, если рассматривать как смежные углы).
3. Шаг 3: Так как \( ext{AM} = ext{MC} \), то треугольники AMD и CMD имеют одинаковую высоту из вершины D и равные основания AM и MC. Следовательно, \( S_{AMD} = S_{CMD} \).
4. Шаг 4: Аналогично, треугольники ABM и CBM имеют одинаковую высоту из вершины A и равные основания BM и MD. Следовательно, \( S_{ABM} = S_{CBM} \).
5. Шаг 5: Рассматривая треугольники AMD и ABM, у них равны основания AM = MC. Высота из вершины B к диагонали AC будет равна высоте из вершины D к диагонали AC (так как AB || DC, то расстояние между ними постоянно).
6. Шаг 6: Более простой подход: Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника с равными площадями: \( S_{AMD} = S_{CMD} = S_{AMB} = S_{CMB} \).
7. Шаг 7: Площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей этих четырех треугольников: \( S_{ABCD} = S_{AMD} + S_{CMD} + S_{AMB} + S_{CMB} \).
8. Шаг 8: Так как все четыре площади равны \( S_{AMD} \), то \( S_{ABCD} = S_{AMD} + S_{AMD} + S_{AMD} + S_{AMD} = 4 imes S_{AMD} \).

Что и требовалось доказать.