4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Краткое пояснение:

Если один острый угол в прямоугольном треугольнике равен 45°, то второй острый угол также равен 45°. Это означает, что треугольник является равнобедренным.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один угол равен 45°, то второй острый угол равен \( 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
2. Шаг 2: Так как углы при основании равны, треугольник является равнобедренным. Это значит, что катеты равны.
3. Шаг 3: Обозначим катеты через 'a'. По теореме Пифагора: \( a^2 + a^2 = 70^2 \) \( 2a^2 = 4900 \) \( a^2 = 2450 \).
4. Шаг 4: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \).
5. Шаг 5: Подставляем значение \( a^2 \): \( S = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225 \).

Ответ: 1225