4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен \( 90° - 45° = 45° \).

Следовательно, треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его катеты равны.

Пусть катеты равны \( a \). По теореме Пифагора:

\[ a^2 + a^2 = 70^2 \]

\[ 2a^2 = 4900 \]

\[ a^2 = \frac{4900}{2} = 2450 \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225 \]

Ответ: 1225.