12. В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 10 см. Чему равна диагональ прямоугольника?

Пусть меньшая сторона равна \(a=10\) см, а диагональ — \(d\). Диагонали прямоугольника симметричны относительно стороны, поэтому угол между ними равен удвоенному углу \(\alpha\) между диагональю и меньшей стороной: \(2\alpha=60^\circ\), откуда \(\alpha=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой d сторона a прилежит к углу \(30^\circ\), поэтому \(a=d\cos30^\circ\). Тогда \(d=10/\cos30^\circ=20/\sqrt3=20\sqrt3/3\) см.

Ответ: \(20\sqrt3/3\) см.