№ 12. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в O. ∠CBD = 31°, ∠BAC = 39°. Найти ∠D и ∠C.

Так как BC ∥ AD, ∠CBD = ∠BDA = 31° (накрест лежащие углы).

В равнобедренной трапеции диагонали симметричны относительно оси симметрии, поэтому угол между AD и AC равен углу между BC и BD: ∠CAD = 31°.

Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 39° + 31° = 70°. Углы при основании AD равны, следовательно, ∠D = 70°.

Соседние углы при боковой стороне трапеции supplementary, поэтому ∠C = 180° − 70° = 110°.

Ответ: ∠D = 70°, ∠C = 110°.