№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD) AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла CDA. Найти AD.

Так как BC ∥ AD, то ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие углы).

BD — биссектриса угла CDA, значит ∠CDB = ∠BDA. Следовательно, ∠CBD = ∠CDB, и треугольник BCD равнобедренный: BC = CD.

В равнобедренной трапеции AB = CD, поэтому AB = BC = 7. Для нахождения AD используем равенство углов основания трапеции: ∠DAB = ∠CDA. Из условия биссектрисы и параллельности оснований следует ∠BDA = ∠CBD; в треугольнике ABD это означает, что ∠BDA = ∠ABD, поэтому AD = AB.

Итак, AD = 7.

Ответ: AD = 7.