12) y = 5 sin^3(3x + pi/2)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = 5\sin^3(3x + \frac{\pi}{2}) \) используем правило дифференцирования произведения константы на функцию, степенной функции и сложной функции.

Сначала перепишем функцию как \( y = 5(\sin(3x + \frac{\pi}{2}))^3 \). Вынесем константу \( 5 \) за знак производной: \( y' = 5 \cdot \frac{d}{dx}(\sin(3x + \frac{\pi}{2}))^3 \.

Пусть \( v = \sin(3x + \frac{\pi}{2}) \), тогда \( y = 5v^3 \). Производная \( y \) по \( v \) равна \( \frac{dy}{dv} = 5 \cdot 3v^2 = 15v^2 \).

Теперь найдем производную \( v \). Пусть \( u = 3x + \frac{\pi}{2} \), тогда \( v = \sin(u) \). Производная \( u \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = 3 \).

Производная \( v \) по \( u \) равна \( \frac{dv}{du} = \cos(u) \).

Применяя правило дифференцирования сложной функции для \( v \): \( \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 3 = 3\cos(3x + \frac{\pi}{2}) \.

Теперь объединим всё по правилу дифференцирования сложной функции для \( y \):

\( y' = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 15v^2 \cdot (3\cos(3x + \frac{\pi}{2})) \.

Подставляем \( v = \sin(3x + \frac{\pi}{2}) \):

\( y' = 15(\sin(3x + \frac{\pi}{2}))^2 \cdot 3\cos(3x + \frac{\pi}{2}) = 45\sin^2(3x + \frac{\pi}{2})\cos(3x + \frac{\pi}{2}) \.

Ответ: \( y' = 45\sin^2(3x + \frac{\pi}{2})\cos(3x + \frac{\pi}{2}) \).