121. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины A и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если AB : BC = 3 : 5.

Пусть катеты треугольника имеют длину L, а гипотенуза AD прямоугольника лежит на гипотенузе треугольника. Обозначим через s расстояние от прямого угла треугольника до стороны BC вдоль каждого катета. Так как BC параллельна гипотенузе, её длина равна √2s, а расстояние между параллельными сторонами AD и BC равно (L − s)/√2.

Следовательно, AB = (L − s)/√2, BC = √2s. По отношению AB : BC = 3 : 5 имеем (L − s)/(2s) = 3/5, откуда 5L = 11s и s = 5L/11.

Гипотенуза треугольника равна L√2 = 55, поэтому L = 55/√2. Тогда BC = √2 · 5L/11 = 25 см, а AB = (L − 5L/11)/√2 = 15 см.

Ответ: 15 см и 25 см.