123. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Обозначим соседние стороны параллелограмма векторами u и v. Его диагонали задаются векторами u + v и u − v. Если диагонали образуют равные углы с одной и той же стороной, соответствующие углы с направлением u равны. Поэтому направления диагоналей симметричны относительно направления этой стороны, и их проекции на неё равны.

В частности, длины диагоналей равны: |u + v| = |u − v|. Возведём в квадрат: |u + v|² = |u|² + 2u·v + |v|², а |u − v|² = |u|² − 2u·v + |v|². Из равенства следует u·v = 0, то есть соседние стороны параллелограмма перпендикулярны. Следовательно, один его угол прямой, а значит, все углы прямые.

Итак, параллелограмм является прямоугольником.