127 На конференцию собрались ученые. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Решение:

Пусть \( n \) — общее число ученых на конференции. По условию, 5 ученых знакомы с 3 другими, а \( n-5 \) ученых знакомы с 4 другими. Тогда сумма степеней всех вершин (ученых) равна \( 5 \times 3 + (n-5) \times 4 = 15 + 4n - 20 = 4n - 5 \).

По теореме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин должна быть чётной. Однако, \( 4n \) — всегда чётное число, а \( 4n - 5 \) — всегда нечётное число. Следовательно, такое условие невозможно.

Ответ: Нет, не могло, так как сумма степеней (число знакомых) оказалась бы нечётной.