127. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что ΔBCD = ΔB₁C₁D₁. Дано также: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁.

По двум сторонам и углу между ними ΔABC = ΔA₁B₁C₁: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁. Поэтому AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

Поскольку D и D₁ лежат соответственно на AB и A₁B₁, получаем ∠CAD = ∠C₁A₁D₁. Вместе с равенствами AC = A₁C₁ и ∠ACD = ∠A₁C₁D₁ это даёт равенство ΔACD и ΔA₁C₁D₁ по стороне и двум прилежащим углам. Значит, CD = C₁D₁ и ∠ACD = ∠A₁C₁D₁.

Из равенства ΔABC и ΔA₁B₁C₁ следует ∠BCA = ∠B₁C₁A₁. Вычитая из этих равных углов соответственно равные углы ACD и A₁C₁D₁, получаем ∠BCD = ∠B₁C₁D₁. Теперь BC = B₁C₁, CD = C₁D₁, а углы между этими сторонами равны. Следовательно, ΔBCD = ΔB₁C₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.