12 В июле некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днём недели могло быть 15 июля указанного года? Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Решение:

В июле 31 день. Чтобы в месяце было 4 понедельника и 4 пятницы, 1-е число месяца должно приходиться на понедельник, вторник, среду, четверг или пятницу.

Вариант 1: 1 июля — понедельник.

Понедельники: 1, 8, 15, 22, 29.

Пятницы: 4, 11, 18, 25.

В этом случае 15 июля — понедельник. Но тогда пятниц будет 4, а понедельников — 5. Не подходит.

Вариант 2: 1 июля — вторник.

Понедельники: 7, 14, 21, 28.

Пятницы: 3, 10, 17, 24, 31.

В этом случае 15 июля — воскресенье. Пятниц будет 5, понедельников — 4. Не подходит.

Вариант 3: 1 июля — среда.

Понедельники: 6, 13, 20, 27.

Пятницы: 2, 9, 16, 23, 30.

В этом случае 15 июля — вторник. Пятниц будет 5, понедельников — 4. Не подходит.

Вариант 4: 1 июля — четверг.

Понедельники: 5, 12, 19, 26.

Пятницы: 1, 8, 15, 22, 29.

В этом случае 15 июля — пятница. Понедельников будет 4, пятниц — 5. Не подходит.

Вариант 5: 1 июля — пятница.

Понедельники: 7, 14, 21, 28.

Пятницы: 1, 8, 15, 22, 29.

В этом случае 15 июля — пятница. Понедельников будет 4, пятниц — 5. Не подходит.

Вариант 6: 1 июля — суббота.

Понедельники: 6, 13, 20, 27.

Пятницы: 4, 11, 18, 25.

В этом случае 15 июля — суббота. Понедельников — 4, пятниц — 4. Подходит.

Вариант 7: 1 июля — воскресенье.

Понедельники: 5, 12, 19, 26.

Пятницы: 3, 10, 17, 24, 31.

В этом случае 15 июля — четверг. Понедельников — 4, пятниц — 4. Подходит.

Чтобы в месяце было ровно 4 понедельника и 4 пятницы, количество дней в месяце должно быть 28, 29, 30 или 31. Если 31 день, то 3 дня встречаются 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Если 30 дней, то 2 дня встречаются 5 раз, а 5 дней — 4 раза. Если 29 дней, то 1 день встречается 5 раз, а 6 дней — 4 раза. Если 28 дней, то все дни недели встречаются по 4 раза.

Июль — 31 день. Чтобы было 4 понедельника и 4 пятницы, нужно, чтобы 1-е, 2-е и 3-е число месяца были другими днями недели, а 4-е, 5-е, 6-е, 7-е (в зависимости от того, какой день был 1-м) — понедельником и пятницей. В июле 31 день. Это значит, что 3 дня недели будут встречаться 5 раз, а 4 дня — 4 раза. Чтобы было 4 понедельника и 4 пятницы, эти дни недели не должны быть теми, которые встречаются 5 раз.

Если 1-е число — суббота, то понедельники: 6, 13, 20, 27 (4); пятницы: 4, 11, 18, 25 (4). 15 июля — суббота.

Если 1-е число — воскресенье, то понедельники: 5, 12, 19, 26 (4); пятницы: 3, 10, 17, 24, 31 (5). Не подходит.

Если 1-е число — понедельник, то понедельники: 1, 8, 15, 22, 29 (5); пятницы: 4, 11, 18, 25 (4). Не подходит.

Если 1-е число — вторник, то понедельники: 7, 14, 21, 28 (4); пятницы: 3, 10, 17, 24, 31 (5). Не подходит.

Если 1-е число — среда, то понедельники: 6, 13, 20, 27 (4); пятницы: 2, 9, 16, 23, 30 (5). Не подходит.

Если 1-е число — четверг, то понедельники: 5, 12, 19, 26 (4); пятницы: 1, 8, 15, 22, 29 (5). Не подходит.

Если 1-е число — пятница, то понедельники: 7, 14, 21, 28 (4); пятницы: 1, 8, 15, 22, 29 (5). Не подходит.

Таким образом, единственная возможность — это когда 1 июля приходится на субботу. В этом случае 15 июля будет субботой.

Ответ: 15 июля могло быть субботой.