13. (1 балл) Найдите область определения функции y = √4x² +5x+1

Решение:

Чтобы найти область определения функции \( y = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} \), нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

\[ 4x^2 + 5x + 1 \ge 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 4x^2 + 5x + 1 = 0 \):

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \]\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + 3}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Парабола \( y = 4x^2 + 5x + 1 \) ветвями вверх. Следовательно, неравенство \( 4x^2 + 5x + 1 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -1 \) или \( x \ge -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty) \).