20. (3 балла) Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 6 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 450.

Решение:

Пусть сторона основания параллелепипеда равна \( a \), высота \( h = 6 \) см. Диагональ параллелепипеда \( d \).

Диагональ основания \( d_{осн} \) равна \( a\sqrt{2} \) (так как основание — квадрат).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда \( d \), высотой \( h \) и диагональю основания \( d_{осн} \).

Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен \( 45^\circ \). В этом треугольнике:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d_{осн}} \]\[ 1 = \frac{6}{a\sqrt{2}} \]\[ a\sqrt{2} = 6 \]\[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

Теперь найдем объём параллелепипеда:

\[ V = S_{осн} \cdot h \]\[ V = a^2 \cdot h \]\[ V = (3\sqrt{2})^2 \cdot 6 \]\[ V = (9 \cdot 2) \cdot 6 \]\[ V = 18 \cdot 6 \]\[ V = 108 \text{ см}^3 \]

Ответ: \( 108 \text{ см}^3 \).