22. (3 балла) Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график у = -x³ +3x+2.

Исследование функции \( y = -x^3 + 3x + 2 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \in (-\infty; +\infty) \).
2. Чётность/Нечётность: \( y(-x) = -(-x)^3 + 3(-x) + 2 = x^3 - 3x + 2 \). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Корни функции (нули): Приравняем \( y = 0 \): \( -x^3 + 3x + 2 = 0 \). Это кубическое уравнение. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (±1, ±2). При \( x = -1 \): \( -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = -(-1) - 3 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Значит, \( x = -1 \) — корень. Разделим многочлен \( -x^3 + 3x + 2 \) на \( (x+1) \) столбиком или по схеме Горнера.

Получаем \( (x+1)(-x^2 - x + 2) = 0 \). Решим \( -x^2 - x + 2 = 0 \) или \( x^2 + x - 2 = 0 \):

\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]\[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \]\[ x_1 = \frac{-1+3}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-1-3}{2} = -2 \]

Корни: \( x = -2, x = -1, x = 1 \).

Производная и точки экстремума:

\( y' = ( -x^3 + 3x + 2 )' = -3x^2 + 3 \)

Приравняем производную к нулю:

\[ -3x^2 + 3 = 0 \]\[ -3(x^2 - 1) = 0 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm 1 \]

Точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) — критические.

Определение знака производной и промежутков монотонности:

• На интервале \( (-\infty; -1) \), возьмём \( x = -2 \): \( y'(-2) = -3(-2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (-1; 1) \), возьмём \( x = 0 \): \( y'(0) = -3(0)^2 + 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (1; +\infty) \), возьмём \( x = 2 \): \( y'(2) = -3(2)^2 + 3 = -3(4) + 3 = -12 + 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.

Точки экстремума:

• При \( x = -1 \) — локальный минимум. \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \). Точка минимума: \( (-1; 0) \).
• При \( x = 1 \) — локальный максимум. \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \). Точка максимума: \( (1; 4) \).

Точка перегиба:

Найдем вторую производную: \( y'' = (-3x^2 + 3)' = -6x \).

Приравняем \( y'' = 0 \):

\[ -6x = 0 \]\[ x = 0 \]

При \( x < 0 \) \( y'' < 0 \) (выпуклость вверх). При \( x > 0 \) \( y'' > 0 \) (выпуклость вниз). Точка \( x = 0 \) — точка перегиба. \( y(0) = -(0)^3 + 3(0) + 2 = 2 \). Точка перегиба: \( (0; 2) \).

График:

Отметим найденные точки: корни \( (-2; 0), (-1; 0), (1; 0) \), точка перегиба \( (0; 2) \), максимум \( (1; 4) \), минимум \( (-1; 0) \). Построим плавную кривую, учитывая промежутки монотонности и выпуклости.

Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке \( (-1; 0) \), локальный максимум в точке \( (1; 4) \), точку перегиба в \( (0; 2) \). Убывает на \( (-\infty; -1) \) и \( (1; +\infty) \), возрастает на \( (-1; 1) \). График построен.