13.(1 балл) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1известно, что BD1 = 3, CD = 2, AD = 2. Найдите длину ребра AA1.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде все грани — прямоугольники, и все углы между смежными рёбрами — прямые.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDD_1 \). Гипотенузой является \( BD_1 \), катетами — \( BD \) и \( DD_1 \).

Сначала найдём длину диагонали основания \( BD \) в прямоугольнике \( ABCD \). В прямоугольном треугольнике \( BCD \) по теореме Пифагора:

\( BD^2 = BC^2 + CD^2 \).

В прямоугольном параллелепипеде \( BC = AD = 2 \) и \( CD = AB = 2 \).

\( BD^2 = 2^2 + 2^2 \)

\( BD^2 = 4 + 4 \)

\( BD^2 = 8 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDD_1 \). Мы знаем \( BD^2 = 8 \) и \( BD_1 = 3 \).

По теореме Пифагора:

\( BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 \)

\( 3^2 = 8 + DD_1^2 \)

\( 9 = 8 + DD_1^2 \)

\( DD_1^2 = 9 - 8 \)

\( DD_1^2 = 1 \)

\( DD_1 = 1 \).

Ребро \( DD_1 \) параллельно и равно ребру \( AA_1 \) (так как это высота параллелепипеда). Следовательно, \( AA_1 = DD_1 = 1 \).

Ответ: 1.