13. (2бал) В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁ ребро CD = 2, ребро BC = √5, ребро CC₁ = 2. Точка К - середина ребра DD₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки C₁, B₁ и К.

Решение:

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁, \( CD = 2 \), \( BC = \sqrt{5} \), \( CC_1 = 2 \). Точка K — середина DD₁.

Найти: Площадь сечения C₁B₁K.

1. Определим размеры параллелепипеда: \( AB = CD = 2 \), \( AD = BC = \sqrt{5} \), \( AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 2 \).
2. Так как K — середина DD₁, то \( DK = KD_1 = \frac{DD_1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
3. Сечение C₁B₁K — это трапеция. Основания трапеции — \( C_1B_1 \) и \( K_x \) (где \( K_x \) — проекция K на плоскость основания).
4. Найдем длину основания \( C_1B_1 \). \( C_1B_1 \) параллельно \( AB \) и \( CD \), и \( C_1B_1 = AB = CD = 2 \).
5. Найдем длину основания \( C_1B_1 \) (она равна \( B_1C_1 \)). \( B_1C_1 \) параллельно \( BC \) и \( AD \), и \( B_1C_1 = BC = AD = \sqrt{5} \).
6. Основания трапеции: \( C_1B_1 = \sqrt{5} \) и \( CK \) (найдем позже).
7. Чтобы найти площадь сечения C₁B₁K, нужно рассмотреть его в пространстве. Сечение является прямоугольником, так как \( C_1B_1 \) параллельна \( DD_1 \) (перпендикулярно основанию) и \( B_1K \) будет перпендикулярно \( C_1B_1 \).
8. Рассмотрим треугольник \( DD_1C_1 \). \( C_1D_1 = AB = 2 \), \( DD_1 = 2 \). \( KD_1 = 1 \).
9. Найдем длину \( C_1K \). \( C_1K \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника \( C_1D_1K \). \( C_1K^2 = C_1D_1^2 + KD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \). \( C_1K = \sqrt{5} \).
10. Сечение C₁B₁K является прямоугольником, так как \( C_1B_1 \) параллельна \( D_1C_1 \) и \( B_1K \) перпендикулярно \( C_1B_1 \).
11. Длина одной стороны прямоугольника \( C_1B_1 = \sqrt{5} \).
12. Длина другой стороны прямоугольника \( C_1K = \sqrt{5} \).
13. Площадь прямоугольника: \( S = C_1B_1 \cdot C_1K = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \).

Ответ: 5.