19. (Збал) Найдите решение уравнения: 1 + cosx + cos2x = 0

Решение:

Данное уравнение: \( 1 + \cos x + \cos 2x = 0 \).

Используем формулу двойного угла для \( \cos 2x \): \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).

Подставим в уравнение:

\( 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0 \)

\( \cos x + 2\cos^2 x = 0 \)

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\( \cos x (1 + 2\cos x) = 0 \)

Это уравнение распадается на два простейших тригонометрических уравнения:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( 1 + 2\cos x = 0 \)

Решим первое уравнение:

\( \cos x = 0 \)

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Решим второе уравнение:

\( 2\cos x = -1 \)

\( \cos x = -\frac{1}{2} \)

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Объединяем решения:

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) или \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) или \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.