17. (Збал) Основанием прямой призмы является ромб со стороной 14 см и углом 30°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Решение:

Основание прямой призмы — ромб. Сторона ромба \( a = 14 \) см. Один из углов ромба равен \( 30^{\circ} \).

Найдем диагонали ромба. Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. Угол между сторонами ромба \( 30^{\circ} \) и \( 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Длина меньшей диагонали \( d_1 \) находится по теореме косинусов:

\( d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cdot \cos 30^{\circ} = 14^2 + 14^2 - 2 \cdot 14^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 196 - 196\sqrt{3} = 196(2 - \sqrt{3}) \).

\( d_1 = \sqrt{196(2 - \sqrt{3})} = 14 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \).

Длина большей диагонали \( d_2 \) находится по теореме косинусов:

\( d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cdot \cos 150^{\circ} = 14^2 + 14^2 - 2 \cdot 14^2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \cdot 196 + 196\sqrt{3} = 196(2 + \sqrt{3}) \).

\( d_2 = \sqrt{196(2 + \sqrt{3})} = 14 \sqrt{2 + \sqrt{3}} \).

Площадь ромба \( S_{ромба} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 14 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 14 \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \cdot 196 \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = 98 \sqrt{4 - 3} = 98 \sqrt{1} = 98 \) см².

Меньшее диагональное сечение призмы является квадратом. Это означает, что меньшая диагональ ромба равна высоте призмы. Из формул диагоналей видно, что \( d_1 \) — меньшая диагональ.

Значит, высота призмы \( h = d_1 = 14 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) см.

Объем призмы \( V = S_{ромба} \cdot h = 98 \cdot 14 \sqrt{2 - \sqrt{3}} = 1372 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) см³.

Ответ: \( 1372 \sqrt{2 - \sqrt{3}} \) см³.