18. (3бал) Решите систему уравнений { log₅ x - log₅ y = log₅(y + 3), x - 3y = 4

Решение:

Дана система уравнений:

1. \( \log_5 x - \log_5 y = \log_5(y + 3) \)
2. \( x - 3y = 4 \)

Преобразуем первое уравнение:

\( \log_5 \frac{x}{y} = \log_5(y + 3) \)

Отсюда следует:

\( \frac{x}{y} = y + 3 \)

\( x = y(y + 3) \)

\( x = y^2 + 3y \)

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение:

\( (y^2 + 3y) - 3y = 4 \)

\( y^2 = 4 \)

\( y = \pm 2 \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( y = 2 \)

Подставим \( y = 2 \) в выражение для \( x \):

\( x = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10 \).

Проверим условия существования логарифмов: \( x = 10 > 0 \) и \( y = 2 > 0 \) и \( y+3 = 2+3 = 5 > 0 \). Условия выполнены.

Случай 2: \( y = -2 \)

Подставим \( y = -2 \) в выражение для \( x \):

\( x = (-2)^2 + 3 \cdot (-2) = 4 - 6 = -2 \).

Проверим условия существования логарифмов: \( x = -2 \) не больше нуля, поэтому этот корень не подходит.

Таким образом, единственное решение системы — \( x = 10, y = 2 \).

Ответ: (10; 2).