13. а) Решите уравнение (3ˣ - 4)² - 13|3ˣ - 4| = 15. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [1; 5].

Краткое пояснение:

Это показательное уравнение, которое можно свести к квадратному, используя замену переменной. После решения квадратного уравнения найдем значения исходной переменной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену переменной. Пусть \( y = |3^x - 4| \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 13y = 15 \).
2. Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение: \( y^2 - 13y - 15 = 0 \).
3. Шаг 3: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Здесь \( a=1, b=-13, c=-15 \).
4. Шаг 4: Дискриминант \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 169 + 60 = 229 \).
5. Шаг 5: Найдем корни: \( y_1 = \frac{13 - \sqrt{229}}{2} \) и \( y_2 = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \).
6. Шаг 6: Вернемся к исходной переменной: \( |3^x - 4| = \frac{13 - \sqrt{229}}{2} \) или \( |3^x - 4| = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \).
7. Шаг 7: Поскольку \( \sqrt{229} \) приблизительно 15.13, то \( y_1 \) будет отрицательным, а \( |3^x - 4| \) не может быть отрицательным. Поэтому первое уравнение решений не имеет.
8. Шаг 8: Рассматриваем второе уравнение: \( |3^x - 4| = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \).
9. Шаг 9: Это означает, что \( 3^x - 4 = \frac{13 + \sqrt{229}}{2} \) или \( 3^x - 4 = -\frac{13 + \sqrt{229}}{2} \).
10. Шаг 10: Решаем первое уравнение: \( 3^x = 4 + \frac{13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{8 + 13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{21 + \sqrt{229}}{2} \).
11. Шаг 11: Решаем второе уравнение: \( 3^x = 4 - \frac{13 + \sqrt{229}}{2} = \frac{8 - 13 - \sqrt{229}}{2} = \frac{-5 - \sqrt{229}}{2} \).
12. Шаг 12: Второе уравнение не имеет решений, так как \( 3^x \) всегда положительно, а правая часть отрицательна.
13. Шаг 13: Для первого уравнения найдем \( x \) с помощью логарифма: \( x = \log_3{\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right)} \).
14. Шаг 14: Оценим значение \( x \). \( \sqrt{229} \approx 15.13 \). \( x \approx \log_3{\left(\frac{21 + 15.13}{2}\right)} = \log_3{\left(\frac{36.13}{2}\right)} = \log_3{18.065} \).
15. Шаг 15: Так как \( 3^2 = 9 \) и \( 3^3 = 27 \), то \( x \) находится между 2 и 3.
16. Шаг 16: Проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку [1; 5]. Так как \( 2 < x < 3 \), то \( x \) принадлежит отрезку [1; 5].

Ответ: а) \( x = \log_3{\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right)} \) б) \( \log_3{\left(\frac{21 + \sqrt{229}}{2}\right)} \)