14. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. На ребре CC₁ отмечена точка М так, что СМ = 5. Через точки М и B₁ проведена плоскость α, параллельная диагонали А₁С. а) Докажите, что C₁N : ND₁ = 1 : 4, где N — точка пересечения плоскости с ребром C₁D₁. б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁.

Краткое пояснение:

Эта задача решается методами аналитической геометрии в пространстве. Мы будем использовать координаты точек и векторов для доказательства параллельности и нахождения угла между плоскостями.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем систему координат. Пусть вершина C будет началом координат (0, 0, 0). Ось CX направим по CB, CY — по CD, CZ — по CC₁. Тогда координаты вершин будут: C(0, 0, 0), B(6, 0, 0), D(0, 6, 0), C₁(0, 0, 6), B₁(6, 0, 6), D₁(0, 6, 6), A₁(6, 6, 6).
2. Шаг 2: Точка M лежит на ребре CC₁ и CM = 5. Так как C(0, 0, 0) и C₁(0, 0, 6), то M имеет координаты (0, 0, 5).
3. Шаг 3: Диагональ A₁C имеет вектор \( \vec{A_1C} = C - A_1 = (0, 0, 0) - (6, 6, 6) = (-6, -6, -6) \).
4. Шаг 4: Плоскость α проходит через точки M(0, 0, 5) и B₁(6, 0, 6) и параллельна вектору \( \vec{A_1C} \).
5. Шаг 5: Найдем вектор \( \vec{MB_1} = B_1 - M = (6, 0, 6) - (0, 0, 5) = (6, 0, 1) \).
6. Шаг 6: Нормальный вектор плоскости α будет перпендикулярен \( \vec{MB_1} \) и \( \vec{A_1C} \). Однако, \( \vec{A_1C} \) не является направляющим вектором плоскости, плоскость параллельна ему.
7. Шаг 7: Воспользуемся свойством параллельности плоскости и прямой. Если плоскость параллельна прямой, то ее нормальный вектор перпендикулярен направляющему вектору прямой.
8. Шаг 8: Пусть нормальный вектор плоскости α будет \( \vec{n} = (n_x, n_y, n_z) \). Тогда \( \vec{n} \cdot \vec{A_1C} = 0 \) и \( \vec{n} \cdot \vec{MB_1} = 0 \).
9. Шаг 9: \( -6n_x - 6n_y - 6n_z = 0 → n_x + n_y + n_z = 0 \).
10. Шаг 10: \( 6n_x + 0n_y + 1n_z = 0 → 6n_x + n_z = 0 → n_z = -6n_x \).
11. Шаг 11: Подставим \( n_z \) в первое уравнение: \( n_x + n_y - 6n_x = 0 → n_y - 5n_x = 0 → n_y = 5n_x \).
12. Шаг 12: Выберем \( n_x = 1 \), тогда \( n_y = 5 \) и \( n_z = -6 \). Нормальный вектор плоскости α: \( \vec{n_a} = (1, 5, -6) \).
13. Шаг 13: Уравнение плоскости α: \( 1(x - 0) + 5(y - 0) - 6(z - 5) = 0 → x + 5y - 6z + 30 = 0 \).
14. Шаг 14: Найдем точку N на ребре C₁D₁. Ребро C₁D₁ задается параметрически: \( C_1(0, 0, 6) \), \( D_1(0, 6, 6) \). Точка N имеет вид \( (0, y_N, 6) \).
15. Шаг 15: Подставим координаты точки N в уравнение плоскости α: \( 0 + 5y_N - 6(6) + 30 = 0 → 5y_N - 36 + 30 = 0 → 5y_N - 6 = 0 → y_N = 1.2 \).
16. Шаг 16: Координаты точки N: (0, 1.2, 6).
17. Шаг 17: Теперь найдем отношение \( C_1N : ND_1 \). Точка C₁ имеет координату y=0, точка D₁ — y=6. Точка N имеет y=1.2.
18. Шаг 18: \( C_1N = 1.2 - 0 = 1.2 \). \( ND_1 = 6 - 1.2 = 4.8 \).
19. Шаг 19: Отношение \( C_1N : ND_1 = 1.2 : 4.8 = 12 : 48 = 1 : 4 \). Доказано.
20. Шаг 20: б) Найдем угол между плоскостями α и BCC₁. Нормальный вектор плоскости BCC₁: плоскость проходит через B(6, 0, 0), C(0, 0, 0), C₁(0, 0, 6). Векторы в плоскости: \( \vec{CB} = (6, 0, 0) \), \( \vec{CC_1} = (0, 0, 6) \). Нормальный вектор \( \vec{n_{BCC_1}} = \vec{CB} \times \vec{CC_1} = (0, -36, 0) \). Можно взять \( (0, 1, 0) \).
21. Шаг 21: Нормальный вектор плоскости α: \( \vec{n_a} = (1, 5, -6) \).
22. Шаг 22: Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла \( \theta \) между \( \vec{n_a} \) и \( \vec{n_{BCC_1}} \) находится по формуле: \( \cos \theta = \frac{|\vec{n_a} \cdot \vec{n_{BCC_1}}|}{|\vec{n_a}| |\vec{n_{BCC_1}}|} \).
23. Шаг 23: \( \vec{n_a} \cdot \vec{n_{BCC_1}} = 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + (-6) \cdot 0 = 5 \).
24. Шаг 24: \( |\vec{n_a}| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 25 + 36} = \sqrt{62} \).
25. Шаг 25: \( |\vec{n_{BCC_1}}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \).
26. Шаг 26: \( \cos \theta = \frac{|5|}{\sqrt{62} \cdot 1} = \frac{5}{\sqrt{62}} \).
27. Шаг 27: \( \theta = \arccos{\left(\frac{5}{\sqrt{62}}\right)} \).

Ответ: а) Доказано. б) \( \arccos{\left(\frac{5}{\sqrt{62}}\right)} \)