13. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите ВКС, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°.

Задание 13

В треугольнике ABC проведены биссектрисы углов B и C, которые пересекаются в точке K. Нам нужно найти угол ∠BKC.

Сначала найдем сумму углов B и C:

\[ \angle B + \angle C = 40^{\circ} + 80^{\circ} = 120^{\circ} \]

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол A:

\[ \angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

Так как BK — биссектриса угла B, то она делит угол B пополам:

\[ \angle KBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \]

Так как CK — биссектриса угла C, то она делит угол C пополам:

\[ \angle KCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник BKC. Сумма углов в нем равна 180°:

\[ \angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^{\circ} \]

\[ \angle BKC + 20^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle BKC + 60^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

Ответ: 120°