13. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём малого конуса, отсечённого проведённой плоскостью, равен 5.

Решение:

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Малый конус и исходный конус подобны. Высота делится в отношении 1:3, считая от вершины. Значит, высота малого конуса составляет \( \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4} \) высоты большого конуса. Коэффициент подобия \( k = \frac{1}{4} \).

Отношение объёмов: \( \frac{V_{малого}}{V_{большого}} = k^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64} \).

Объём малого конуса \( V_{малого} = 5 \).

\( V_{большого} = \frac{V_{малого}}{k^3} = \frac{5}{1/64} = 5 \cdot 64 = 320 \).

Ответ: 320