13. Дмитрий взял кредит в банке на сумму 270 200 рублей. Схема выплаты кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Дмитрий переводит в банк свой очередной платеж. Известно, что Дмитрий погасил кредит за три года, причем каждый следующий платеж был ровно втрое больше предыдущего. Какую сумму Дмитрий заплатил в первый раз? Ответ дайте в рублях.

Пусть первый платёж равен P рублей. Тогда второй равен 3P, а третий — 9P. После ежегодного увеличения долг умножается на 1,1.

После первого года долг составляет 1,1 · 270 200 − P. После второго — 1,1(1,1 · 270 200 − P) − 3P. После третьего долг погашен:

1,1³ · 270 200 − 1,1²P − 1,1 · 3P − 9P = 0.

Отсюда P = (1,1³ · 270 200)/(1,1² + 3 · 1,1 + 9) = 359 636,2/13,51 = 26 620.

Ответ: 26 620 рублей.