13. Однородный шар диаметром 3см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2см? Ответ дайте в граммах.

Решение:

Масса шара пропорциональна его объему, так как материал один и тот же (плотность одинакова).

Объем шара вычисляется по формуле \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \), где \( R \) — радиус шара.

Диаметр первого шара \( d_1 = 3 \) см, значит, радиус \( R_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) см.

Масса первого шара \( m_1 = 162 \) г.

Объем первого шара \( V_1 = \frac{4}{3}\pi (1.5)^3 = \frac{4}{3}\pi · 3.375 \) см³.

Диаметр второго шара \( d_2 = 2 \) см, значит, радиус \( R_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

Объем второго шара \( V_2 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi · 1 \) см³.

Так как масса пропорциональна объему, отношение масс равно отношению объемов:

\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{V_2}{V_1} \]

\[ \frac{m_2}{162} = \frac{\frac{4}{3}\pi (1)^3}{\frac{4}{3}\pi (1.5)^3} = \frac{1^3}{(1.5)^3} \]

\[ \frac{m_2}{162} = \frac{1}{3.375} \]

\[ m_2 = 162 · \frac{1}{3.375} \]

\[ m_2 = \frac{162}{3.375} = 48 \]

Ответ: 48 грамм.