15. Решите уравнение \( \frac{x-3}{x+4} = \frac{2}{2x-1} \). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

• \( x + 4 ≠ 0 → x ≠ -4 \)
• \( 2x - 1 ≠ 0 → 2x ≠ 1 → x ≠ 0.5 \)

Теперь решим само уравнение, перемножив крест-накрест:

\[ (x - 3)(2x - 1) = 2(x + 4) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - x - 6x + 3 = 2x + 8 \]

\[ 2x^2 - 7x + 3 = 2x + 8 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - 7x - 2x + 3 - 8 = 0 \]

\[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Оба корня \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -0.5 \) входят в ОДЗ (\( x ≠ -4 \) и \( x ≠ 0.5 \)).

По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, нужно записать больший из корней.

Сравнивая \( 5 \) и \( -0.5 \), больший корень равен \( 5 \).

Ответ: 5.