16. Найдите точку максимума функции y = (x+16)e16-x

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

Функция имеет вид \( y = (x+16)e^{16-x} \). Будем использовать правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x+16 \), тогда \( u' = 1 \).

Пусть \( v = e^{16-x} \). Производная \( v' \) находится по правилу производной сложной функции: \( (e^{f(x)})' = e^{f(x)} · f'(x) \). Здесь \( f(x) = 16-x \), \( f'(x) = -1 \).

Следовательно, \( v' = e^{16-x} · (-1) = -e^{16-x} \).

Теперь найдем производную \( y' \):

\[ y' = u'v + uv' = 1 · e^{16-x} + (x+16) · (-e^{16-x}) \]

\[ y' = e^{16-x} - (x+16)e^{16-x} \]

Вынесем общий множитель \( e^{16-x} \):

\[ y' = e^{16-x} (1 - (x+16)) \]

\[ y' = e^{16-x} (1 - x - 16) \]

\[ y' = e^{16-x} (-x - 15) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{16-x} (-x - 15) = 0 \]

Так как \( e^{16-x} \) всегда больше нуля, то единственное решение будет, когда:

\[ -x - 15 = 0 \]

\[ -x = 15 \]

\[ x = -15 \]

Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной \( y' = e^{16-x} (-x - 15) \).

• Если \( x < -15 \) (например, \( x = -16 \)), то \( -x - 15 = -(-16) - 15 = 16 - 15 = 1 > 0 \). Так как \( e^{16-x} > 0 \), то \( y' > 0 \). Функция возрастает.
• Если \( x > -15 \) (например, \( x = -14 \)), то \( -x - 15 = -(-14) - 15 = 14 - 15 = -1 < 0 \). Так как \( e^{16-x} > 0 \), то \( y' < 0 \). Функция убывает.

Следовательно, при \( x = -15 \) происходит смена знака производной с плюса на минус, что означает, что в этой точке функция имеет максимум.

Найдем значение \( y \) в точке максимума:

\[ y(-15) = (-15 + 16)e^{16 - (-15)} = (1)e^{16 + 15} = e^{31} \]

Точка максимума имеет координаты \( (-15, e^{31}) \).

Ответ: x = -15.