14. Решите уравнение cos2x + 0,5 = cos²x.

Решение:

Используем тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \).

Подставим это в исходное уравнение:

\[ (2\cos^2(x) - 1) + 0.5 = \cos^2(x) \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ 2\cos^2(x) - \cos^2(x) - 1 + 0.5 = 0 \]

\[ \cos^2(x) - 0.5 = 0 \]

\[ \cos^2(x) = 0.5 \]

\[ \cos(x) = ±\sqrt{0.5} = ±\frac{1}{\sqrt{2}} = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, мы имеем два случая:

1. \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Отсюда \( x = ±\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

2. \( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Отсюда \( x = ±\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Объединив оба случая, получим:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \], где \( n \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \) (\( n, k ∈ \mathbb{Z} \)).