13. Постройте график функции y = (x²-3x+2)(x²+3x+2) / (x²-x-2) и определите, при каких значениях параметра m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Для начала упростим выражение функции:

• Разложим числитель и знаменатель на множители.
• Числитель: (x² - 3x + 2)(x² + 3x + 2)
• Квадратные трехчлены:
• x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
• x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
• Знаменатель: x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
• Теперь подставим разложенные множители в функцию:
• \[ y = \frac{(x - 1)(x - 2)(x + 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)} \]
• Сократим общие множители (x - 2) и (x + 1), учитывая, что x ≠ 2 и x ≠ -1.
• \[ y = (x - 1)(x + 2) \]
• Раскроем скобки:
• \[ y = x² + 2x - x - 2 \]
• \[ y = x² + x - 2 \]
• Это парабола с ветвями вверх. Найдем координаты вершины параболы.
• x₀ = -b / (2a) = -1 / (2 * 1) = -0.5
• y₀ = (-0.5)² + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25
• Таким образом, вершина параболы находится в точке (-0.5, -2.25).
• Учитывая ограничения x ≠ 2 и x ≠ -1, на графике будут выколотые точки:
• При x = 2: y = 2² + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4. Точка (2, 4) выколота.
• При x = -1: y = (-1)² + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2. Точка (-1, -2) выколота.

Построение графика:

График функции y = x² + x - 2 — это парабола с вершиной в точке (-0.5, -2.25). На графике должны быть выколоты точки (2, 4) и (-1, -2).

Определение параметра m:

Прямая y = m является горизонтальной линией. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции в следующих случаях:

• Если прямая проходит через вершину параболы, но при этом эта точка не выколота. Вершина находится в точке (-0.5, -2.25). Значение y₀ = -2.25. Поскольку эта точка не выколота, y = -2.25 является одним из искомых значений.
• Если прямая проходит через одну из выколотых точек, но не совпадает с уровнем другой выколотой точки или с вершиной.
• У нас есть выколотые точки (2, 4) и (-1, -2).
• Если m = 4, прямая y = 4 проходит через выколотую точку (2, 4). Так как парабола y = x² + x - 2 ниже значения 4 для других x (кроме x=2), то эта линия пересекает график в одной точке (2,4) которую мы должны исключить. Но если мы учтем, что функция y = (x-1)(x+2) то при x=2, y=4. Поэтому эта точка является выколотой.
• Рассмотрим уравнение x² + x - 2 = m.
• x² + x - (2+m) = 0
• Дискриминант D = 1² - 4(1)(-(2+m)) = 1 + 8 + 4m = 9 + 4m.
• Чтобы было ровно одно решение, D должно быть равно 0:
• 9 + 4m = 0
• 4m = -9
• m = -9/4 = -2.25.
• Это значение соответствует вершине параболы.
• Теперь учтем выколотые точки.
• Если m = 4 (значение y в выколотой точке (2, 4)), то уравнение x² + x - 2 = 4 имеет решения: x² + x - 6 = 0. (x+3)(x-2)=0. x=-3 или x=2. Точка x=2 выколота, поэтому единственное пересечение с графиком будет при x=-3. Таким образом, m=4 — одно из решений.
• Если m = -2 (значение y в выколотой точке (-1, -2)), то уравнение x² + x - 2 = -2 имеет решения: x² + x = 0. x(x+1)=0. x=0 или x=-1. Точка x=-1 выколота, поэтому единственное пересечение с графиком будет при x=0. Таким образом, m=-2 — одно из решений.

Ответ: m = -2.25, m = -2, m = 4