68. Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

Решение:

• Пусть x л/мин — производительность первой трубы.
• Тогда производительность второй трубы равна x + 6 л/мин.
• Время заполнения резервуара объёмом 140 литров первой трубой: 140/x минут.
• Время заполнения резервуара объёмом 140 литров второй трубой: 140/(x + 6) минут.
• По условию, первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Составим уравнение:
• \[ \frac{140}{x} = \frac{140}{x + 6} + 3 \]
• Приведем к общему знаменателю:
• \[ \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3 \]
• \[ \frac{140(x + 6) - 140x}{x(x + 6)} = 3 \]
• \[ \frac{140x + 840 - 140x}{x² + 6x} = 3 \]
• \[ \frac{840}{x² + 6x} = 3 \]
• \[ 840 = 3(x² + 6x) \]
• \[ 840 = 3x² + 18x \]
• Разделим всё на 3:
• \[ 280 = x² + 6x \]
• Перенесем все в одну сторону:
• \[ x² + 6x - 280 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• D = b² - 4ac = 6² - 4(1)(-280) = 36 + 1120 = 1156
• √D = 34
• Найдем корни:
• x₁ = (-6 + 34) / 2 = 28 / 2 = 14
• x₂ = (-6 - 34) / 2 = -40 / 2 = -20
• Так как производительность не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.
• Производительность первой трубы равна 14 л/мин.

Ответ: 14 л/мин