13. Укажите решение неравенства (х + 3)(х - 5) ≤ 0.

Решение:

Данное неравенство является нестрогим, поэтому точки, в которых выражение равно нулю, включаются в решение.

Найдём корни уравнения \( (x + 3)(x - 5) = 0 \):

• \( x + 3 = 0 \) => \( x = -3 \)
• \( x - 5 = 0 \) => \( x = 5 \)

Эти два значения делят числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -3] \), \( [-3; 5] \) и \( [5; +\infty) \). Определим знак выражения \( (x + 3)(x - 5) \) на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -3] \): Возьмём пробную точку, например, \( x = -4 \). \( (-4 + 3)(-4 - 5) = (-1)(-9) = 9 \) (знак +).
• Интервал \( [-3; 5] \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 0 \). \( (0 + 3)(0 - 5) = (3)(-5) = -15 \) (знак —).
• Интервал \( [5; +\infty) \): Возьмём пробную точку, например, \( x = 6 \). \( (6 + 3)(6 - 5) = (9)(1) = 9 \) (знак +).

Нам нужно решить неравенство \( (x + 3)(x - 5) \le 0 \), то есть найти интервалы, где выражение отрицательное или равно нулю. Это интервал \( [-3; 5] \).

Сравним с предложенными вариантами:

• 1) \( (-\infty; -3] \) — неверно.
• 2) \( [-3; 5] \) — верно.
• 3) \( (-\infty; 5) \) — неверно.
• 4) \( (-\infty; -3] \cup [5; +\infty) \) — неверно.

Ответ: 2