13. В июле 2027 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: в начале каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; до конца декабря каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 96 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть сумма кредита равна \(S\) рублей, а каждый из трёх равных платежей — \(P\) рублей.

После первого начисления процентов и платежа долг равен \(1.2S-P\). После второго года — \(1.2(1.2S-P)-P=1.44S-2.2P\). После третьего года долг погашен, поэтому \(1.2(1.44S-2.2P)-P=0\), то есть \(1.728S-3.64P=0\).

Отсюда \(P=\dfrac{1.728}{3.64}S\). Общая сумма выплат на 96 500 рублей больше кредита: \(3P-S=96500\).

Подставим выражение для \(P\): \(\left(\dfrac{3\cdot1.728}{3.64}-1\right)S=96500\), откуда \(\dfrac{193}{455}S=96500\). Следовательно, \(S=96500\cdot\dfrac{455}{193}=227500\).

Ответ: 227 500 рублей.