13. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 3, AD = 5, AA₁ = 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A₁, B и C₁.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сечение является треугольником \(A_1BC_1\).

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(C_1(3,5,12)\), \(A_1(0,0,12)\).

Тогда:

\[\overrightarrow{A_1B}=(3,0,-12),\qquad \overrightarrow{A_1C_1}=(3,5,0).\]

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения:

\[\left|\overrightarrow{A_1B}\times\overrightarrow{A_1C_1}\right|=\sqrt{60^2+(-36)^2+15^2}=\sqrt{5121}=3\sqrt{569}.\]

Следовательно,

\[S_{A_1BC_1}=\frac{3\sqrt{569}}{2}.\]

Ответ: \(\frac{3\sqrt{569}}{2}\).