133. а) В прямоугольном параллелепипеде АBCDA₁B₁C₁D₁ ребро АВ=2 см, ребро AD=√5 см, ребро АА₁=2 см. Точка К – середина ребра ВВ₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки А₁, D₁ и К.

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. AB = 2 см, AD = \( \sqrt{5} \) см, AA₁ = 2 см. K — середина BB₁.

Найти: Площадь сечения A₁D₁K.

Сечение A₁D₁K является прямоугольником, так как A₁D₁ параллельно BC и перпендикулярно B₁C₁. Также A₁D₁ перпендикулярно D₁K, так как D₁K лежит в плоскости грани DD₁C₁C, которая перпендикулярна грани AA₁D₁.

Найдем длины сторон прямоугольника A₁D₁K:

• A₁D₁ = AD = \( \sqrt{5} \) см (противоположные стороны прямоугольника A₁B₁C₁D₁).
• D₁K — это половина ребра D₁C₁, так как K — середина BB₁, а BB₁ = AA₁ = CC₁ = DD₁ = 2 см, и B₁C₁ = AD = \( \sqrt{5} \) см. Тогда D₁K — это половина длины бокового ребра, то есть \( D_1K = \frac{1}{2} DD_1 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \) см.

Площадь сечения A₁D₁K равна произведению его сторон:

\[ S_{A_1D_1K} = A_1D_1 \(\times\) D_1K = \(\sqrt{5}\) \(\times\) 1 = \(\sqrt{5}\) \) см².

Ответ: √5 см².