б) В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро призмы.

Решение:

Пусть дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основанием является прямоугольник ABCD со сторонами AB = 24 см и BC = 10 см. Диагональ призмы, например, AC₁, образует с плоскостью основания угол 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. Угол ACC₁ = 45°.

В этом треугольнике:

• AC — диагональ основания. По теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26 \) см.
• CC₁ — боковое ребро призмы (высота).
• AC₁ — диагональ призмы.

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\angle ACC_1) = \frac{CC_1}{AC} \]\[ \tan(45°) = \frac{CC_1}{26} \]\[ 1 = \frac{CC_1}{26} \]\[ CC_1 = 26 \) см.

Ответ: 26 см.