б) В прямоугольном параллелепипеде ASDFAS D₁F₁ ребро AS=6 см, ребро AF=5√5 см, ребро АА₁=6 см. Точка К – середина ребра SS₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки А₁, F₁ и К.

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед ASDFA₁S₁D₁F₁. AS = 6 см, AF = \( 5\sqrt{5} \) см, AA₁ = 6 см. K — середина SS₁.

Найти: Площадь сечения A₁F₁K.

Сечение A₁F₁K является прямоугольником, так как A₁F₁ параллельно SD и перпендикулярно SS₁. Также A₁F₁ перпендикулярно F₁K, так как F₁K лежит в плоскости грани FF₁D₁D, которая перпендикулярна грани AA₁S₁.

Найдем длины сторон прямоугольника A₁F₁K:

• A₁F₁ = AF = \( 5\sqrt{5} \) см (противоположные стороны прямоугольника A₁S₁F₁).
• F₁K — это половина ребра F₁D₁, так как K — середина SS₁, а SS₁ = AA₁ = FF₁ = DD₁ = 6 см, и S₁D₁ = AF = \( 5\sqrt{5} \) см. Тогда F₁K — это половина длины бокового ребра, то есть \( F_1K = \frac{1}{2} F_1F = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \) см.

Площадь сечения A₁F₁K равна произведению его сторон:

\[ S_{A_1F_1K} = A_1F_1 \(\times\) F_1K = 5\(\sqrt{5}\) \(\times\) 3 = 15\(\sqrt{5}\) \) см².

Ответ: 15√5 см².