б) В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны оснований равны 2 см, боковые рёбра равны 3 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС, А₁В₁ и А₁С₁.

Решение:

Дано: Правильная треугольная призма ABC A₁B₁C₁. Сторона основания AB = 2 см, боковое ребро AA₁ = 3 см.

Найти: Площадь сечения, проходящего через середины рёбер AB, AC, A₁B₁ и A₁C₁.

Обозначим середины рёбер:

• M — середина AB.
• N — середина AC.
• P — середина A₁B₁.
• Q — середина A₁C₁.

Сечение MNPQ является прямоугольником. Рассмотрим основание ABC. MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN || BC и \( MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \) см.

Аналогично, в основании A₁B₁C₁, PQ — средняя линия треугольника A₁B₁C₁, поэтому PQ || B₁C₁ и \( PQ = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \) см.

Так как BC || B₁C₁, то MN || PQ.

Рассмотрим боковую грань ABB₁A₁. MP — средняя линия трапеции ABB₁A₁, поэтому MP || AA₁ и \( MP = \frac{1}{2} (AB + A_1B_1) \). Это неверно, так как MP соединяет середины AB и A₁B₁. MP будет параллельно боковым ребрам AA₁ и BB₁, и его длина будет равна высоте призмы.

MP — линия, соединяющая середины AB и A₁B₁. MP параллельна AA₁ и BB₁, и \( MP = AA_1 = 3 \) см.

Аналогично, NQ — линия, соединяющая середины AC и A₁C₁. NQ параллельна AA₁ и CC₁, и \( NQ = AA_1 = 3 \) см.

Таким образом, MNPQ — прямоугольник со сторонами MN = 1 см и MP = 3 см.

Площадь прямоугольника MNPQ:

\[ S_{MNPQ} = MN \(\times\) MP = 1 \(\times\) 3 = 3 \) см².

Ответ: 3 см².