б) В прямоугольном параллелепипеде MNPRM₁N₁P₁R₁ ребро MN = 4 см, ребро MR=√20 см, ребро MM₁=4 см. Точка К – середина ребра NN₁. Найдите площадь сечения, проходящего через точки М₁, R₁ и К.

Решение:

Дано: Прямоугольный параллелепипед MNPRM₁N₁P₁R₁. MN = 4 см, MR = \( \sqrt{20} \) см, MM₁ = 4 см. K — середина NN₁.

Найти: Площадь сечения M₁R₁K.

Сечение M₁R₁K является прямоугольником, так как M₁R₁ параллельно NP и перпендикулярно NN₁. Также M₁R₁ перпендикулярно R₁K, так как R₁K лежит в плоскости грани RR₁P₁P, которая перпендикулярна грани MM₁N₁.

Найдем длины сторон прямоугольника M₁R₁K:

• M₁R₁ = MR = \( \sqrt{20} \) см (противоположные стороны прямоугольника M₁N₁P₁R₁).
• R₁K — это половина ребра R₁P₁, так как K — середина NN₁, а NN₁ = MM₁ = PP₁ = RR₁ = 4 см, и N₁P₁ = MR = \( \sqrt{20} \) см. Тогда R₁K — это половина длины бокового ребра, то есть \( R_1K = \frac{1}{2} R_1R = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \) см.

Площадь сечения M₁R₁K равна произведению его сторон:

\[ S_{M_1R_1K} = M_1R_1 \(\times\) R_1K = \(\sqrt{20}\) \(\times\) 2 = 2\(\sqrt{20}\) = 2 \(\sqrt{4 \times 5}\) = 2 \(\times\) 2 \(\sqrt{5}\) = 4\(\sqrt{5}\) \) см².

Ответ: 4√5 см².