в) В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 24 см и 18 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите боковое ребро призмы.

Решение:

Пусть дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основанием является прямоугольник ABCD со сторонами AB = 24 см и BC = 18 см. Диагональ призмы, например, AC₁, образует с плоскостью основания угол 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. Угол ACC₁ = 60°.

В этом треугольнике:

• AC — диагональ основания. По теореме Пифагора: \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \) см.
• CC₁ — боковое ребро призмы (высота).
• AC₁ — диагональ призмы.

По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \tan(\angle ACC_1) = \frac{CC_1}{AC} \]\[ \tan(60°) = \frac{CC_1}{30} \]\[ \sqrt{3} = \frac{CC_1}{30} \]\[ CC_1 = 30\(\sqrt{3}\) \) см.

Ответ: 30√3 см.