133. Упростите: $\frac{2}{p^{1/2}-q^{1/2}}-\frac{2p^{1/2}}{p^{1/2}+q^{1/2}}\cdot\frac{p-p^{1/2}q^{1/2}+q}{p^{1/2}-q^{1/2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 133. Упростите: $\frac{2}{p^{1/2}-q^{1/2}}-\frac{2p^{1/2}}{p^{1/2}+q^{1/2}}\cdot\frac{p-p^{1/2}q^{1/2}+q}{p^{1/2}-q^{1/2}}$.$ Фото задания

133. Упростите: $\frac{2}{p^{1/2}-q^{1/2}}-\frac{2p^{1/2}}{p^{1/2}+q^{1/2}}\cdot\frac{p-p^{1/2}q^{1/2}+q}{p^{1/2}-q^{1/2}}$.

Accepted Answer

Обозначим $a=\sqrt p$, $b=\sqrt q$. Тогда исходное выражение равно

\[\frac{2}{a-b}-\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{a^2-ab+b^2}{a-b}.\]

Приведём к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

\[\frac{2(a+b)-2a(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}=\frac{2(a+b)-2a^3-2ab^2}{a^2-b^2}.\]

Поскольку $a^3+ab^2=p^{3/2}+\sqrt p\,q$, возвращаемся к исходным переменным.

Ответ: $\frac{2(\sqrt p+\sqrt q)-2p^{3/2}-2\sqrt p\,q}{p-q}$, при $p,q\ge0$, $p\ne q$.

133. Упростите: \(\frac{2}{p^{1/2}-q^{1/2}}-\frac{2p^{1/2}}{p^{1/2}+q^{1/2}}\cdot\frac{p-p^{1/2}q^{1/2}+q}{p^{1/2}-q^{1/2}}\).

Ответ: