14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции y = 2x³ - 15x² + 24x + 3 на отрезке [2; 3].

Решение:

1. Найдем производную функции: y' = 6x² - 30x + 24.
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 6x² - 30x + 24 = 0.
3. Разделим на 6: x² - 5x + 4 = 0.
4. Решим квадратное уравнение: (x - 1)(x - 4) = 0.
5. Критические точки: x = 1 и x = 4.
6. Проверим, попадают ли критические точки в заданный отрезок [2; 3].
7. x = 1 не входит в отрезок [2; 3].
8. x = 4 не входит в отрезок [2; 3].
9. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на концах отрезка.
10. Вычислим значения функции на концах отрезка:
11. При x = 2: y = 2(2)³ - 15(2)² + 24(2) + 3 = 2(8) - 15(4) + 48 + 3 = 16 - 60 + 48 + 3 = 7.
12. При x = 3: y = 2(3)³ - 15(3)² + 24(3) + 3 = 2(27) - 15(9) + 72 + 3 = 54 - 135 + 72 + 3 = -6.
13. Сравниваем полученные значения: 7 и -6. Наибольшее значение равно 7.

Ответ: 7