15. (2 балла) Найдите все решения уравнения cos 2x - cos²x - √2 sin x = 0, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2x = 2cos²x - 1.
2. Подставим в уравнение: (2cos²x - 1) - cos²x - √2 sin x = 0.
3. Упростим: cos²x - 1 - √2 sin x = 0.
4. Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x.
5. Подставим: (1 - sin²x) - 1 - √2 sin x = 0.
6. Упростим: -sin²x - √2 sin x = 0.
7. Умножим на -1: sin²x + √2 sin x = 0.
8. Вынесем sin x за скобки: sin x (sin x + √2) = 0.
9. Это уравнение распадается на два случая:
10. Случай 1: sin x = 0.
11. Решения на отрезке [-π; π]: x = -π, x = 0, x = π.
12. Случай 2: sin x + √2 = 0.
13. sin x = -√2.
14. Так как значение синуса находится в пределах от -1 до 1, а -√2 ≈ -1.414, это уравнение не имеет решений.
15. Объединим решения из Случая 1.

Ответ: -π, 0, π