14. а) Решите уравнение \(2\sin x\cos^2 x-\sqrt2\sin 2x+\sin x=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\).

а) Используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(\sin x(2\cos^2 x-2\sqrt2\cos x+1)=0.\)

Первый множитель даёт \(x=\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\). Для второго множителя получаем квадратное уравнение относительно \(\cos x\):

\(2\cos^2 x-2\sqrt2\cos x+1=0\), то есть \((\sqrt2\cos x-1)^2=0\). Поэтому \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\), откуда \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}\).

б) На заданном отрезке из решений \(x=\pi k\) лежат \(-4\pi\) и \(-3\pi\). Из решений \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}\) лежит \(-\frac{15\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{4}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-4\pi;\,-\frac{15\pi}{4};\,-3\pi\).