15. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.

а) Пусть плоскость пересекает рёбра AB и CD в точках P и Q. В грани ABD через T проходит линия, параллельная BD, поэтому TP∥BD. В грани ACD через T проходит линия, параллельная AC, поэтому TQ∥AC. Сечение — четырёхугольник TPRQ, где PR∥AC и RQ∥BD; следовательно, это параллелограмм.

В правильном тетраэдре противоположные рёбра AC и BD перпендикулярны. Поэтому соседние стороны этого параллелограмма перпендикулярны, и сечение является прямоугольником.

б) Из \(AT:TD=1:2\) следует, что \(AT/AD=1/3\). В треугольнике ABD из параллельности TP∥BD получаем \(TP/BD=AT/AD=1/3\), значит \(TP=9/3=3\).

В треугольнике ADC отрезок TQ параллелен AC, поэтому \(TQ/AC=TD/AD=2/3\), откуда \(TQ=10/3\). Площадь прямоугольника:

\(S=TP\cdot TQ=3\cdot\frac{10}{3}=10.\)

Ответ: сечение — прямоугольник площадью 10.