18. Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды. а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке. б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=15, KL=6, LB=5.

а) Равные хорды одной окружности равноудалены от её центра. Значит, расстояния от O до прямых, содержащих стороны трапеции, равны. Перпендикуляр, опущенный из центра на каждую сторону, делит соответствующую хорду пополам; равенство расстояний означает, что O равноудалена от сторон каждого угла трапеции. Следовательно, O лежит на биссектрисе каждого угла, и все четыре биссектрисы проходят через O.

б) Длина AB равна \(15+6+5=26\). Середина хорды KL находится на перпендикуляре из O к AB; расстояние от A до этой середины вдоль AB равно \(15+3=18\), а от неё до B — \(5+3=8\).

Обозначим через d расстояние от O до каждой стороны. Пусть углы при A и B равны \(\alpha\) и \(\beta\). Поскольку AB — боковая сторона, основания трапеции параллельны и \(\alpha+\beta=180^\circ\). Из прямоугольных треугольников, образованных биссектрисами, получаем \(d\cot(\alpha/2)=18\) и \(d\cot(\beta/2)=8\). Так как \(\beta/2=90^\circ-\alpha/2\), то \(\cot(\beta/2)=\tan(\alpha/2)\). Перемножая равенства, получаем \(d^2=18\cdot8=144\), следовательно, \(d=12\).

Центр равноудалён от параллельных оснований, поэтому высота трапеции равна \(2d=24\).

Ответ: 24.