14. а) Решите уравнение $4\sin x\cos^2x-1=\cos x(4\sin x-1)$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 14. а) Решите уравнение $4\sin x\cos^2x-1=\cos x(4\sin x-1)$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…$ Фото задания

14. а) Решите уравнение $4\sin x\cos^2x-1=\cos x(4\sin x-1)$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$.

Accepted Answer

а) Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$4\sin x\cos^2x-1-4\sin x\cos x+\cos x=0$.

$4\sin x\cos x(\cos x-1)+(\cos x-1)=0$.

$(\cos x-1)(4\sin x\cos x+1)=0$.

Отсюда либо $\cos x=1$, либо $4\sin x\cos x+1=0$, то есть $\sin 2x=-\frac12$.

В первом случае $x=2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$. Во втором случае $2x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $2x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k$. Значит, $x=\frac{7\pi}{12}+\pi k$ или $x=\frac{11\pi}{12}+\pi k$.

б) На отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ корень из первого семейства — $-2\pi$. Из второго семейства подходят значения при $k=-3,-2$: $-\frac{29\pi}{12},-\frac{25\pi}{12},-\frac{17\pi}{12}$. Значение $-\frac{25\pi}{12}$ не принадлежит отрезку, поэтому остаются:

Ответ: а) $x=2\pi k$, $x=\frac{7\pi}{12}+\pi k$, $x=\frac{11\pi}{12}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) $-3\pi,-\frac{29\pi}{12},-2\pi,-\frac{17\pi}{12}$.

14. а) Решите уравнение \(4\sin x\cos^2x-1=\cos x(4\sin x-1)\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]\).

Ответ: