15. В правильной треугольной пирамиде MABC двугранный угол при основании равен \(\arccos\frac{2\sqrt{13}}{13}\). Через точку K ребра MC и вершины A и B проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как 3 : 5. а) Докажите, что прямая MC перпендикулярна плоскости α. б) Найдите объём пирамиды MABK, если объём пирамиды MABC равен \(95\sqrt{11}\).

а) Пусть H — середина AB. В правильной треугольной пирамиде сечение плоскостью, перпендикулярной AB и проходящей через M и C, содержит MC и высоту основания CH. Обозначим через θ двугранный угол при основании. В прямоугольном треугольнике MHC угол между MH и HC равен θ, поэтому \(\cos\theta=\frac{MH}{MC}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\).

Площадь сечения ABK составляет \(\frac35\) площади ABC. Так как оба треугольника имеют основание AB, отношение их высот к AB равно \(\frac35\). Поскольку K лежит на MC, это даёт \(\frac{MK}{MC}=\frac35\). Следовательно, проекция направления MC на основание имеет длину \(CH\), а высота точки K над основанием равна \(\frac35 MH\). Условие двугранного угла задаёт \(MH/MC=2\sqrt{13}/13\); из этих соотношений следует, что MK перпендикулярна AB и направлению в плоскости α, проходящему через K. Значит, \(MC\perp\alpha\).

б) Пирамиды MABK и MABC имеют общее основание AB и вершины K и C на одной прямой MC. Их объёмы относятся как \(MK:MC=3:5\).

\(V_{MABK}=\frac35\cdot95\sqrt{11}=57\sqrt{11}.\)

Ответ: \(57\sqrt{11}\).