17. Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности \(f(\varepsilon)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{1}{kT}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\varepsilon/(kT)}\), где \(k=1{,}38\cdot10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана, \(\varepsilon\) — кинетическая энергия молекулы в джоулях, T — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии ε, при котором функция плотности f(ε) принимает наибольшее значение, если T = 600 К.

При фиксированной температуре множитель перед \(\sqrt{\varepsilon}e^{-\varepsilon/(kT)}\) постоянен. Максимум функции достигается там, где максимальна эта часть.

Рассмотрим её логарифм: \(\ln(\sqrt{\varepsilon}e^{-\varepsilon/(kT)})=\frac12\ln\varepsilon-\frac{\varepsilon}{kT}\).

Приравняем производную к нулю: \(\frac{1}{2\varepsilon}-\frac{1}{kT}=0\), откуда \(\varepsilon=\frac{kT}{2}\). Это максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Подставим значения: \(\varepsilon=\frac{1.38\cdot10^{-23}\cdot600}{2}=4.14\cdot10^{-21}\) Дж.

Ответ: \(4{,}14\cdot10^{-21}\) Дж.